domingo, 31 de marzo de 2019
viernes, 15 de febrero de 2019
En un tiempo…
Proyecto Integrador
En un tiempo…
Para realizar este proyecto, es
necesario leer y comprender los temas: “Funciones”, “La antiderivada”, “Teorema
fundamental del Cálculo” y “La derivada en la explicación de fenómenos
naturales y procesos sociales cuantificables”.
¿Qué producto entregarás?
Una presentación con diapositivas
donde respondas a los planteamientos realizados: la gráfica de la función principal,
tu respuesta a las preguntas del punto tres, las gráficas correspondientes que
representan la recolección de tapas: pendiente, ecuación de la recta secante y
la recta tangente, con tu explicación en un audio.
Ahora ya puedes escuchar tu actividad
en el siguiente Podcast:
¿Qué hacer?
1. Analiza el siguiente problema y de
acuerdo con lo que has revisado en las unidades anteriores, desarrolla y
responde el planteamiento, además de explicar tu solución paso a paso.
Una asociación contra el cáncer de
niños se encarga de recolectar tapas desechables con el propósito de venderlas
y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor.
Según su estadística, la ecuación que
representa el número de tapas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 12x
donde f(x) señala la cantidad de tapas recolectadas y "x" representa
el tiempo en semanas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 30,000 tapas
que ha recolectado por su cuenta.
2. Desarrolla la ecuación, para
obtener los puntos que deberás marcar posteriormente en los ejes X y Y de una
gráfica que represente el número de tapas recolectadas.
3. Realiza la gráfica que representa
la ecuación, y responde las siguientes preguntas:
a) ¿En qué momento se recolecta el
máximo número de tapas? ¿Cuántas tapas se recolectan?
b) ¿En qué momento ya no se
recolectan tapas? Justifica tu respuesta, desarrollando la formula y no olvides
que los resultados son en miles.
Datos:
Función: f(x)= -x2 + 12x
a= -1
b= 12
c= 0
Fórmula:
c) ¿Cuál es la relación que existe entre
el tiempo y el número de tapas que se juntaron?
d) ¿Cuál sería el total de tapas en
el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con
anterioridad?
Nota: : Para incluir la gráfica en tu
presentación puedes usar la cámara de tu celular y tomar una fotografía. Es
importante que recuerdes que la gráfica debe ser elaborada a mano mediante el
proceso revisado en el tema de “Funciones” de la semana 1.
4. Obtén la ecuación de la recta
secante e intégrala en la misma grafica de la parábola anterior. Considera que
para la recta tendrás que usar los siguientes valores y la fórmula de la
pendiente que pasa por dos puntos:
x1 = 5
x2 = 6
5. En la gráfica anterior, donde la
recta secante toca la curva (parábola), desarrolla la ecuación de recta tangente
y elabora su respectiva gráfica, la cual pasa por el punto máximo de la
función. Recuerda que la pendiente la puedes obtener derivando la función y
evalúa en el punto dado (punto máximo).
6. Al finalizar, debes obtener una
gráfica que integre dos rectas y una curva. Responde en un audio a los
siguientes planteamientos relacionándolo con los datos obtenidos en tu
actividad:
e) ¿Qué relación existe entre el
punto máximo alcanzado (la recta tangente) y su pendiente?
f) ¿Qué relación existe entre la recta
secante y la tangente con base a la función original?
7. Para tu presentación se sugiere el
siguiente orden:
5. Guarda el documento con el
siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18S4_enuntiempo
viernes, 1 de febrero de 2019
Malthus
Malthus
Para realizar esta actividad es necesario
que hayas revisado el Tema 2. “Antiderivada” correspondiente a la Unidad 2 del
contenido extenso: “La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y
procesos sociales”, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán
realizar esta actividad.
¿Qué producto entregarás?
Un documento en donde integres el
desarrollo de lo que se pide, argumentando cada paso que se realiza, además de
dar el bosquejo (dibujo a mano) de la gráfica que te resulte.
¿Qué hacer?
1. Introducción. Lee atentamente para
conocer la relación de la la aplicación del modelo de Thomas Malthus,
economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.
En esencia, la idea de este modelo
matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la
población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante
P(t), en cualquier momento (t en años).
En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más
personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede
expresar:
Donde el símbolo ∝ (alfa) indica
que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de
proporcionalidad.
Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo,
inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas,
haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población
de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún
se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de
animales pequeños durante cortos intervalos.
Como se mencionó una de las aplicaciones
principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si
nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma
de diferencial, teniendo la ecuación:
dP = kP (t) dt
Para profundizar en el principio de
población de Malthus puedes estudiar el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no
Ahora como la P es la variable dependiente
podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la
ecuación anterior en términos de y nos resulta:
dy = kydt
Tenemos una igualdad entre dos
diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del
lado derecho al lado izquierdo:
En este punto la ecuación está en forma de
diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una
sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos
diferenciales es necesario obtener su antiderivada.
2. Integra las funciones en cada lado de la
igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la
ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada
función tiene su propia constante de integración:
Una vez que tengas las respectivas
antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en
términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu
proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:
y=Cekt
Donde la variable K representa la tasa de
crecimiento de la población.
3. Desarrollo. Con la aplicación de la
antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se
indica:
Suponiendo que la población inicial que se
está considerando es de 360 individuos, determina el valor de C.
Si tenemos que
k=0.4, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 15 años.
Bosqueja una gráfica a mano.
Para su presentación, expón todo el proceso
en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.
4. Integra tus pasos en un solo documento y
súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18 S3 AI6_Malthus
Concentración de CO2 en una función
Concentración de CO2 en una función
Para realizar esta actividad es necesario
que hayas revisado el Tema 1. “Diferencial”, que corresponde a la Unidad 2 “La
derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales”, ahí
encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad.
¿Qué producto entregarás?
Un documento donde presentes el
planteamiento, solución y respuesta argumentada a la pregunta planteada.
¿Qué hacer?
1. Lee con detenimiento la siguiente
situación:
El cambio climático es un fenómeno con
efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la
producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la
atmosfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa, en
Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de
los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso
estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer
un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación se muestra una gráfica de
los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2
sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página
del observatorio directamente.
Para pensar esta función de crecimiento se
considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se
toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable
temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo
tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de
manera que la gráfica resultante es:
Usando herramientas de Excel se ha generado
un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes
lineales), dado por:
Para comprender mejor los elementos de esta
función puedes apoyarte del video:
https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI
f(t)=339.08e0.006t
La gráfica de este ajuste se presenta en la
siguiente figura:
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo
exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y
aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración
de CO2 en los mares de 1980 a 1985.
Utiliza la diferencial de una función para
encontrar el cambio de o a 5:
b) Determina la ecuación de la recta
tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=339.08e0.006t,
en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 5.
c) Compara tu resultado con lo obtenido en
el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar
estas mediciones?
3. Integra tu desarrollo, con la gráfica,
en un documento (de preferencia en procesador de textos) y súbelo a la
plataforma con el siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18 S3
AI5_ConcentraciondeCO2enunafuncion
Secante y tangente
Secante y tangente
Para realizar esta actividad es necesario
que hayas revisado los temas 4 “Razón de cambio” y 5 “Derivada”, de la Unidad 1
del contenido extenso, ya que ahí encontrarás los referentes teóricos que te
permitirán realizar esta actividad.
¿Qué producto entregarás?
Un documento, en procesador de textos,
donde presentes el desarrollo para la resolución de cada punto con sus gráficas
correspondientes, para la recta secante y la tangente.
¿Qué hacer?
Imagina que es posible generar una función
que modela para x toneladas de jitomate el costo necesario de su producción
f(x). Supongamos que la función que modela el costo por toneladas está dada
por:
f(x) = 6x2 + 5x
Recuerda que las funciones son usadas para
modelar el comportamiento de algún fenómeno y así poder estimar los valores de
la función cuando hay una variación en x. La fórmula para calcular la pendiente
de la recta secante a una función dada es:
Ahora resuelve lo que se te pide:
A partir de la fórmula mencionada,
determina la pendiente (m) de la recta secante para la función de costo de
producción de 8 a 10 toneladas.
Para ello, recuerda lo siguiente:
• Utiliza la pendiente m de la recta
secante para calcular la razón de cambio promedio del costo de jitomate de 8 a
10 toneladas. Recuerda que X1 será el primer valor de las toneladas y X2 el
subsecuente.
• Luego sustituye los valores y obtén la
pendiente de la recta secante. La pendiente de la recta secante por dos puntos
de la gráfica de la función se interpreta como la razón promedio de cambio del
costo por tonelada.
2. Realiza la gráfica de la recta secante
de la función x = 1.
f(x) = 6x2 + 5x
La gráfica de la recta secante con x=1 se
debe derivar a partir de la función de costo de producción:
Función de costo de producción
f(x) = 6x2 + 5x
Función de costo de producción derivada
f´(x) = 12x + 5
3. En seguida saca la recta tangente y
represéntala en una gráfica.
Recuerda que si quieres obtener y y
realizar la gráfica de la recta tangente debes utilizar la función del costo de
producción y sustituir el valor de x=1.
Posteriormente utiliza esta fórmula para
obtener la tangente despejando y.
Al realizar la gráfica emplea una tabla con
un rango de x de -2 a 2 como se muestra en el ejemplo.
4. Integra tus procesos y gráficas (pueden
ser a mano, en Excel o con otro programa especializado) en un solo archivo y
súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18 S2 AI4 Secante y
tangente
La derivada y su función
La derivada y su función
Para realizar esta actividad es necesario
que hayas revisado los Temas: 4. “Razón de cambio” y 5. “Derivada” del
contenido extenso, de la Unidad 1 “El movimiento como razón de cambio y la
derivada” del contenido extenso, ya que ahí encontrarás los referentes teóricos
que te permitirán realizar esta actividad.
¿Qué producto entregarás?
Un documento en procesador de texto donde presentes
la respuesta argumentada a las dos preguntas planteadas.
¿Qué hacer?
1. Lee con atención la siguiente situación:
Supongamos que el costo de la producción en
pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) =
2x2 - 6x
Es decir, para producir 500 toneladas de
jitomate se necesitan c (500) = 2 (500)2 - 6(500) = 497,000 (cuatrocientos
noventa y siete mil pesos).
Si queremos saber cuánto se deberá pagar si
se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de
la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción.
Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:
Se deriva la función del costo de
producción
c(x)= 2x2- 6x
Para derivarla se utiliza la siguiente
fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:
El resultado o la derivada de la función de
producción total es:
2. A partir de lo anterior, responde:
• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30
toneladas la producción, es decir, por producir 530 toneladas de jitomate?
• En esta situación ¿para qué se aplicó la
derivada de la función de producción total?
3. Integra tus respuestas en un documento y
súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18 S2 AI3 La derivada y
su función
Límites
Límites
Para realizar esta actividad, es necesario
leer y comprender el Tema 2 “Límites” correspondiente a la Unidad 1 “El
movimiento como razón de cambio y la derivada”, con el cuál analizarás un
problema y organizarás las respuestas en el espacio correspondiente.
¿Qué producto entregarás?
Un documento, en procesador de textos, con
la resolución de las funciones según el procedimiento que creas necesario.
Ahora ya puedes escuchar tu actividad en el
siguiente Podcast:
¿Qué hacer?
1. Revisa y analiza el siguiente video:
“Técnicas para calcular límites”
https://youtu.be/ZIh34mB_J0Q
2. Tomando como base los procedimientos
mencionados en el video, desarrolla en un documento de procesador de textos, la
solución de las siguientes funciones:
Nota: En caso de que no se pueda realizar,
explica las razones.
3. En el mismo archivo que elaboraste el
procedimiento anterior, tabula y grafica con un rango para el eje x de -8 a 9,
cada una de las siguientes funciones:
Para conocer cómo tabular en Excel puedes
apoyarte del siguiente video llamado “Grafica de funciones en Excel”
https://youtu.be/oBE4susyH_o
Si necesitas ayuda para realizar la
potencia y logaritmos en Excel, te recomendamos el video:
https://www.youtube.com/watch?v=rloRY9Hlikg
4. Incluye los desarrollos de las funciones
en el mismo archivo.
5. Incluye un ejemplo de la aplicación de
tabulaciones y graficas de este tipo de funciones en la vida cotidiana.
6. Guarda el archivo y súbelo a la
plataforma con el nombre:
Apellidos_Nombre_M18S1_Limites
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